domingo, 31 de agosto de 2014

Ataques psíquicos / personales y condenación en el camino espiritual. Por Richard Michael Vas

Ataques psíquicos / personales y condenación en el camino espiritual. Por Richard Michael Vas





Para iniciar ésta respuesta, quisiera profundizar sobre dos definiciones que conforman las dos polaridades existentes en éste planeta :
Seres en servicio a sí mismos : Polaridad negativa, resistencia y control sobre los demás, ego
Seres en servicio a los demás : Polaridad positiva, libertad, compartir conocimientos sin forzar los caminos de los demás, amor y empatía
Los seres en servicio a sí mismos por su propia naturaleza sólo ven lo que ellos quieren ver. No ven lo que realmente es. Por lo tanto, siempre proyectan su propia percepción sobre los demás. Y así es como ven a los demás y la realidad externa. Ellos no ven a los demás como los demás realmente son. Tampoco comprenden la realidad como realmente es. Pintan a otros con un pincel que habla completamente sobre cómo son ellos mismos.
Muy rara vez hablan verdad tal como es, y cuando lo hacen, siempre lo hacen con el fin de obtener beneficios para sí mismos – o para herir a la persona de quien hablan. Para desequilibrar a una persona o un grupo el tiempo suficiente para que su ataque penetre y cause daños y distracciones. Sin embargo, ningún ataque puede hacer nada hacia una persona o un grupo equilibrados y en su centro.
Dentro de este nivel de realidad, todos tenemos el servicio a uno mismo, la naturaleza del ego dentro de nosotros. El polo opuesto de servir a uno mismo, es el servicio a los demás.
Cuando ustedes son atacados por entidades en servicio a sí mismas, ustedes tienen el poder para reconocer un alma por los frutos que dan. Cada vez que un individuo polarizado en el ego te habla, tendrá que condenar a una parte de la creación con el fin de hacerse aparecer como digno !
Cuando te atacan directamente, se puede ver de inmediato, debido a sus ataques personales y a tu trabajo, el cual están condenando. Cuando quieren seducir con el poder, la gloria y los regalos (para luego esclavizarlos),lo harán de una manera astuta, por lo que te piden ceder tu poder o hacer algo por ellos ( nutrir su ego ) con el fin de recibir este tipo de cosas.
Un aspecto del servicio a sí mismo es ser dogmático y condenar a todos aquellos que no siguen la ideología estricta establecida por su institución. No importa qué institución sea. Como pueden ver, este ha sido uno de los mayores retos que ha enfrentado la humanidad durante miles de años, en todos los aspectos de la vida.
Dentro del movimiento de la Nueva Era no es diferente. Los individuos de los niveles inferiores de conciencia perciben una oportunidad de poder y un lugar donde sienten que pertenecen. Pero nunca se curan las muchas heridas que un alma dentro de este nivel de realidad tiene inherentemente, así que en vez de equilibrar el creciente poder que obtienen, con la sabiduría y la compasión, se centran en hacer cumplir su voluntad a los demás.
Una persona que hace cumplir su voluntad a los demás está, por supuesto, en servicio al yo, a su propia agenda, con el fin de aumentar su propio poder - o el poder de su amo.
Los individuos en servicio a sí mismos / ego sólo pueden obtener el poder quitándoselo a otros - al engañar a los demás pidiéndoles renunciar al poder personal que tienen y que voluntariamente sigan regalándolo durante el mayor tiempo posible.
La forma como los individuos menos conscientes son engañados, es prometer un don de más valor, si sólo renunciarían a otra cosa ( como su empoderamiento personal ). A menudo ni siquiera son conscientes de lo que se les pide renunciar. Entonces ésa energía es recogida y usada con el fin de mantener la jerarquía de dominación y control. La "élite" en la parte superior se erige para controlar a las masas - los que son menos conscientes.
Para que la élite de poder controle a las masas, en primer lugar deben saber algo que los demás individuos no saben. Para que puedan seguir controlando las masas, tienen que ocultar el conocimiento que le da poder al individuo (de forma equilibrada) y que le ayuda a descubrir el verdadero poder ya dentro - no el falso poder basado en la creencia y en la ilusión. No importa lo que la ilusión sea.
El falso poder siempre se dá por alguien más… Por lo tanto, puede ser quitado !!
El verdadero poder está siempre dentro de uno mismo, que siempre estuvo ahí. Y sólo tenía que ser re-descubierto / reabierto a fluir…Por lo tanto nadie se los puede quitar !!
Con el fin de que engañar para quitarles su poder, van a utilizar tácticas de miedo, psicológicas en un principio y, a veces, incluso violencia y coerción física, para sacudir y despertar temores. Observen sus reacciones a los principales acontecimientos mundiales y las suyas propias, las personales. Ahora pregúntense, ¿cuántas veces, podrías haber reaccionado de una manera que contuviese menos miedo / menos condenatoria ?
Todas las almas tienen exactamente el mismo poder. Sin embargo saber cómo acceder a él y utilizarlo, es de lo que se trata éste viaje. La naturaleza única de cada alma, por supuesto, determina la expresión de esa fuente infinita de energía. Esa fuente infinita de energía no es accesible por el camino del servicio a sí mismo, porque por su propia naturaleza, se cierra a ella. Esta es otra razón del por qué un alma en servicio a sí misma tiene que tomar el poder de otros para sentirse poderosa. Ha cerrado las vías dentro de sí mismo, por el momento.
La parte más irónica de la polaridad en servicio a sí misma, es que si bien pueden contener toda la riqueza material, armas, tecnología en sus manos, ninguna de estas cosas son el verdadero poder. Son ilusiones que no significan nada. No son más que juguetes. Uno puede jugar con ellos, pero no tienen ningún valor inherente aparte de aquello que uno pone en ellos.
Por lo tanto, no importa la cantidad de estas ilusiones que uno posea, no llenan el vacío que se siente dentro de sí mismo. Ese vacío no se puede llenar, hasta que uno se dé cuenta de que nunca se puede “poseer” nada en primer lugar. Si fuera posible, se podría "poseer" el universo entero y uno todavía se sentiría impotente y con necesidad de más poder. La definición de poder como una cosa finita de poseer y poseer es la ilusión el camino ilusorio, o el camino de lo que no es, o el camino de servicio a sí mismo, utilizada con el fin de presentar retos a los que están en el camino del servicio a otros, por lo que aquellos polarizando hacia el servicio a los demás pueden llegar a ser verdaderamente poderosos, al darse cuenta de su conexión con Creador. Los desafíos presentan una oportunidad para que practiquen la compasión por aquellos que han elegido el camino ilusorio.
Para que uno prefiera elegir la ilusión, uno debe estar profundamente herido internamente. En esto radica la diferencia entre un individuo en servicio a sí mismo y uno en servicio a los demás. Un individuo en servicio a sí mismo nunca trataría sanar. Sólo percibe la medida de lo que ve su provecho en alguien / algo. Esta es la forma en que para ellos sucede tan fácilmente la posibilidad de "dejar ir" o bloquear a las personas que ya no encuentran útiles para ellos.
Ustedes pueden observar su propia polarización cuando se encuentran en situaciones difíciles, con el fin de sentir los aspectos de lo que hace que una porción del uno mismo. Así ustedes puede saber lo que piensan aquellos que predominantemente en servicio a sí mismos, cómo miran a los seres humanos, quienes son de naturaleza benévolos o simplemente menos conscientes.
Imagínate a punto de vender tu casa y estás corriendo y preparando todo, asegurándose de que se vea presentable para los compradores. Te encuentras fuera de tu jardín cuando se descubre un enorme nido de hormigas. Inmediatamente buscas la lata de spray para envenenarlos a todos ! Obsérvate a tí mismo en ese momento, ¿se sintió remordimiento o compasión? ¿O era instintivo? Reaccionaste ante tus miedos e hiciste lo que era simplemente natural. Después de todo, no puedes tener hormigas corriendo por todos lados, tienes una casa por vender. Tus necesidades son mucho más importantes que la vida de algunos insectos FEOS e inútiles !!!
Así es como las entidades en servicio a sí mismos observan a otros que no están en su equipo. Desde la perspectiva del servicio a sí mismos, todo gira alrededor de esto : “nosotros contra ellos. Y TENEMOS QUE GANAR !”
Por supuesto, cuando se lleva a su conclusión lógica, GANAR desde el punto de vista egoísta a menudo conduce naturalmente hacia acabar con el libre albedrío de la experiencia humana, y con la existencia misma.
Una de las señas de identidad de un alma en servicio a sí misma es condenar y clasificar a otros como obscuridad y como luz ! O como caminos equivocados y como correctos ! Otros necesitan ser corregidos, y solo su verdad es siempre correcta !
Así es como uno es capaz de mantener la separación entre uno mismo y otros seres, al verlos como menos ( que con el tiempo se convierte en los malos, los obscuros, etc ) y con necesidad de ser convertidos, para convertirse en exactamente lo mismo que ellos son.
Las entidades en servicio a sí mismas sienten que deben poseer y controlar a los demás, por su propio bien ! Ellos ven a los demás como débiles y sienten la necesidad de ponerlos en "orden".
Otra característica distintiva de fuerzas en servicio a sí mismas es la de su necesidad de programar los individuos dentro de sus filas, dentro de la estructura jerárquica. La programación es la única forma en que las otras almas son capaces de seguir las instrucciones sin cuestionar. Ustedes puede observar este efecto en las filas militares y las guerras y otros crímenes que han ocurrido a lo largo de la historia de la Tierra. "Yo solo estaba siguiendo mis órdenes" es una frase famosa de alguien que estaba siguiendo órdenes y ni siquiera sabía el efecto de ellas sobre otras almas. En este nivel de la realidad, esto es posible, para no sentir lo que el otro siente. Y por lo tanto, es muy fácil de seguir creyendo que la realidad es mucho acerca de la separación ! Sobre todo cuando uno no desarrolla un equilibrio dentro de uno mismo, sino que simplemente busca el poder, debido a la sensación interna de debilidad / victimismo.
El servicio a sí mismo, sin fallar, siempre condenará ser cuestionado ! siempre que se te dijo que te callaras, te enfocaras en tus cosas y no cuestionaras nada, sabemos que está viniendo de los que temen perder su poder.
Sin embargo, otra característica que se puede identificar a los que buscan el poder sobre los demás, es por su propensión a la utilización de nombres altisonantes. Ellos se comprometen a nombres de poder, a los títulos de Maestros ascendidos y otros seres que se consideran en una jerarquía más alta, en su afán por impresionar a los egos de los menos conscientes y así ganar su confianza - con el fin de controlarlos - con el fin de obtener energía de ellos - lo que les quita poder - con el fin de sentirse autorizados a sí mismos !
Quien es fácilmente impresionable es fácilmente manipulable. Esos regalos que ofrece el poder verdaderamente llevan a la esclavitud. Uno nunca puede dar poder a otro – al menos no el poder que realmente cuenta. Sin embargo dentro de las sociedades en servicio a sí mismas, el poder se negocia diariamente. La existencia cotidiana se construye en torno a la comercialización de energía. Cabe señalar sin embargo, que el poder negociado es ilusorio en la naturaleza, es una estructura construida, no tiene vida propia.
Las almas en servicio a sí mismas, cuando ven que no tienen poder sobre ti, te acusan de hacer las mismas cosas que ellos mismos sólo pueden hacer, en primer lugar, con el fin de desequilibrar (si uno es propenso al desequilibrio), para que puedan más fácilmente "manejarte", y en segundo lugar, para que puedan obtener el apoyo al confundir aquellos que son propensos a confundirse, es decir, los que todavía están trabajando su empoderamiento y su nivel de conciencia.
Dentro de este nivel de la realidad, todas las almas tienen algún porcentaje de servicio a sí mismos y de servicio a los demás. Es por eso que ustedes ven las dualidades que siempre están en conflicto. La diferencia entre es que los seres en servicio a sí mismos siguen creyendo que toda la existencia es una lucha entre el bien y el mal. Y eso es todo lo que hay en la existencia. Educar a los demás (a la fuerza se podría añadir) porque por sí mismos no aprenden !
En el lado del servicio a los demás hay un comportamiento mucho más sutil y refinado. No hay aplicación de normas sobre los demás. Tampoco hay demanda de su lealtad o sus recursos. Como en éste grupo, las almas se unen de forma natural, cuando se unen para crear. Desde el punto de vista del servicio a otros, no hay conflicto. Sólo hay retos que existen para que uno aprenda las lecciones infinitas que existen.
Desde el punto de vista más elevado, el camino ilusorio del ego, del servicio a sí mismos, existe meramente para proporcionar retos a los que buscan el camino de la aceptación y la comprensión.
Desde el punto de vista de servicio a sí mismo, sin embargo esto no es cierto en absoluto ! La vida está llena de conflictos y existe la necesidad de sobrevivir por dominar, para que no seas dominado ! Puede llegar a ser auto-refuerzo también, para que las almas no crezcan.
La Tierra es un ejemplo de eso. Las almas que existen en una realidad más elevada que la nuestra, han trasplantado básicamente su propia cultura a la población aquí. Una de las razones es para sacar energía de todos los que encarnan en la Tierra. Ustedes puede observar el efecto de una cultura polarizada hacia el ego y servicio a sí misma, al ver su condena por el conocimiento superior, el respeto de la libre voluntad. Cuando le quitas esas dos cosas, se puede "entrenar" a la población local, de generación en generación a aceptar su existencia, cada vez menos libre, como algo completamente normal. Cada generación está entrenada para aceptar más la esclavitud como si fuese en realidad una forma superior de libertad. Pero te darás cuenta de que ninguna de estas llamadas libertades verdaderamente conduce a la libertad, sólo a la escasa conciencia perpetua.
Una cosa que ustedes nunca oirán decir a una entidad en servicio a sí misma es que la vida es un juego donde se viene a experimentar. Desde este punto de vista, por supuesto, surge la idea de "la quema eterna en el infierno". Lo que parece muy real a alguien que realmente cree en eso. La naturaleza de la realidad ofrece un alma lo que necesita. La esencia del Creador puede construir cualquier realidad. De este modo el alma sólo tiene que tener una estructura de creencias y aferrarse a ella durante mucho tiempo, comenzar a vivir por ella y ver cómo otros no viven por ella, y comienzan a medir el valor de los demás - todo en una estructura de creencias que, por su propia naturaleza es ilusoria y falsa.
Por lo tanto, desde el punto de vista del ego, al igual que la religión y la ciencia convencional, sólo hay UN camino! (Todos los demás están equivocados!) (Y los que siguen a esas formas "incorrectas" serán condenados y destruidos). Para ellos el camino es siempre hacia el exterior en busca de uno mismo, así el YO interior nunca se encuentra, por el tiempo en que un alma se busca a sí misma hacia el exterior, busca la ilusión.
Desde el punto de vista del ego, lo externo debe ser poseído con el fin de añadir valor en el ser, para uno mismo sentirse realizado. Irónicamente esta empresa nunca tiene éxito. Y, finalmente, todas las almas en servicio a sí mismas se dan cuenta de ello y por lo tanto con el fin de seguir avanzando en su camino, deben cambiar su polaridad y aprender los caminos del servicio a los demás. Hasta ése momento, sin embargo, ambas trayectorias se fusionan.
Naturalmente, desde el punto de vista del servicio a los demás, la vida no es lineal en absoluto, pero multifacética en formas que la mente humana lineal ni siquiera puede imaginar en este momento en el tiempo. Y por lo tanto, naturalmente, hay un número infinito de formas de llegar al Creador ! Hay tantas maneras, ya que hay puntos individualizadas de conciencia (es decir: las almas). Y el viaje es siempre hacia el interior, a través de experimentar el exterior.
A menudo las almas en servicio al ego y a sí mismas se pueden confundir a sí mismas, en cuanto a lo que el punto de la existencia es todo. Ellos perciben desde un punto de vista limitado, y algunos de ellos comienzan a creer que su voluntad es la única correcta y por lo tanto debe aplicarse a todas las otras vidas. Incluso ya en ciertos niveles desencarnados, empiezan a percibir al Creador como el mal y alguien a quien combatir, pero al ser parte de Creador, se rechazan a sí mismos. Y esto es algo que no ven, por el tiempo que se están polarizando como tal.
El pensamiento libre y total libertad de expresión del uno mismo están totalmente limitadas condenadas y castigadas por los seres en servicio al ego. Ellos toman todos los conceptos de conocimiento descubierto por almas en servicio a los demás, que son buscadores de la verdad, y tuercen sus significados y valores para que signifiquen cosas completamente diferentes. Gran parte de la historia humana ha visto esto. La inversión de los valores en todos los aspectos de la vida. Más recientemente, especialmente el siglo 20.
La verdad no tiene polaridad o agenda. Desde el punto de vista más elevado, el del Ser Superior y Creador, la vida es en gran medida un juego. Todo el universo es una ilusión puramente creada para que Creador pueda jugar diferentes roles y experimentar lo que se siente al hacerlo! Y tal vez aprender algo en el camino.... aprender y descubrirse a sí mismo, puesto que todos somos fragmentos del Creador.
Namaste.
Richard.

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EL MODELO ATOMICO PLANETARIO DE BOHR 2

EL MODELO ATOMICO PLANETARIO DE BOHR 2

Para un átomo hidrogenoide, el modelo planetario de Bohr nos indica que la energía del electrón (la cual tomaremos como la energía del átomo) se puede escribir de la siguiente manera:






en donde se han hecho sucesivamente los reemplazos ħ = h/2π y k = 1/4πε0.

De este modo, en el sistema de unidades SI (MKS), la energía de un electrón en un átomo de hidrógeno para el cual su número atómico es Z = 1 y el cual está situado en la primera capa cuyo número cuántico principal es n = 1 se puede escribir de la siguiente manera:






Se ha encontrado que el resultado predicho teóricamente con la fórmula anterior no concuerda del todo con el resultado obtenido experimentalmente. Esto se debe a que en la derivación de la fórmula correcta tenemos que utilizar no la masa del electrón me sino la masa reducida μ del átomo. Para un sistema de dos partículas, uno con masa M y el otro con masa m (como lo es el caso del átomo de hidrógeno formado por un protón y un electrón), la masa reducida del par de partículas se define formalmente de la siguiente manera:





que podemos reescribir de la siguiente manera:






Para fines prácticos, usualmente se considera que el núcleo del átomo, cargado positivamente, tiene una masa tan grande comparada con la del electrón que puede considerarse infinitamente pesado para fines de cálculo, o lo que es lo mismo, suponemos que se encuentra en reposo total con el electrón girando a una distancia fija con respecto al centro geométrico del núcleo. Pero si consideramos que el núcleo tiene una masa M, entonces su energía cinética será mV²/2 = P²/2M en donde P = MV es el momentum. Si se tiene en cuenta que la masa del núcleo es finita y suponemos que el momentum total del átomo es igual a cero, entonces el momentum del núcleo atómico y del electrón deben ser iguales. La energía cinética total debe ser entonces igual a:





en donde aparece inevitablemente la masa reducida simbolizada con la letra griega μ. La energía cinética resulta ser entonces ligeramente diferente de la energía del electrón porque la masa reducida μ es ligeramente diferente. Los resultados obtenidos previamente para el modelo atómico planetario de Bohr en donde se había supuesto un núcleo de masa infinitamente grande pueden ser aplicados directamente para el caso de un núcleo atómico de masa M si reemplazamos a la masa del electrón en las ecuaciones por la masa reducida μ. La corrección obtenida equivale a tan sólo una parte en 2,000 para el caso del hidrógeno, y es aún menor para átomos con núcleos más pesados. Para el hidrógeno se tiene que la masa del núcleo que podemos tomar como la masa total del átomo es aproximadamente 1836 veces mayor que la masa del electrón, o sea m/M = 1/1836.

Si queremos una concordancia mayor entre los resultados predichos teóricamente y los resultados obtenidos experimentalmente, debemos entonces reemplazar en la fórmula de Boh a la masa del electrón por la masa reducida del átomo:






PROBLEMA: Utilizando las siguientes constantes físicas obtenidas con experimentos de alta precisión:


me = 9.109534·10-31 kilogramo

μ = 9.104576·10-31 kilogramo

e = 1.6021892·10-19 coulomb

ε0 = 8.85418782·10-12 coulomb²/newton·metro²

h = 6.626176·10-34 joule segundo



obténgase la energía de un átomo de hidrógeno en el estado basal (1) utilizando la fórmula de Bohr con la masa del electrón, y (2) utilizando la fórmula de Bohr con la masa reducida del átomo.

Utilizando la fórmula de Bohr con la masa del electrón, el cálculo en el sistema SI-MKS de unidades es el siguiente:






Utilizando la fórmula de Bohr con la masa reducida del átomo, el cálculo en el sistema SI-MKS de unidades es el siguiente:






Este último valor está más cercano al valor obtenido en el laboratorio en experimentos de alta precisión al medirse mediante un parámetro conocido como elpotencial de ionización del átomo de hidrógeno, en el estado basal. De este modo, aunque la diferencia en los cálculos teóricos entre el utilizar la masa del electrón y la masa reducida del átomo es pequeña, los experimentos de alta precisión confirman que la fórmula basada en la masa reducida del átomo es la correcta.

Lo anterior también nos permite modificar la constante de Rydberg para obtener:






que, ya usando valores, resulta ser para el átomo de hidrógeno:


RH = (1.09737·10-3/Å)/[1 + (1/1836)]

RH = 1.0968·10-3/Å



Este valor esta en buena concordancia con el valor experimental R = 1.0967758·10-3/Å

PROBLEMA: La medición experimental de las líneas Hα del deuterio y del hidrógeno son, respectivamente, 6561.01 Å y 6562.80 Å. Calcular la relación entre las masas del deuterio y del hidrógeno.

La fórmula de Rydberg en función de la masa reducida del átomo es:






siendo m la masa del electrón y M la masa del núcleo. Para una misma transición de estados y para un mismo Z, esto implica que λ es proporcional a 1 + (m/M), o sea:






A partir de esto podemos obtener lo siguiente:






Usando m/MH = 1/1836 y reemplazando con los valores experimentales proporcionados:






Simplificando y resolviendo obtenemos entonces:


MH/MD ≈ 0.5

MD/MH ≈ 2.0



Esto nos revela que el deuterio tiene una masa atómica igual al doble de la masa del hidrógeno. Fue precisamente a través de mediciones de este tipo como se descubrió el deuterio.

PROBLEMA: Demuéstrese que la fracción de cambio en la longitud de onda λ de una línea espectral ocasionada por un pequeño cambio en la masa reducida μ del átomo está dada por la siguiente relación:


Δλ/λ = - Δμ/μ



Para comprobar la relación proporcionada, podemos tomar como punto de partida la frecuencia Rydberg del átomo de Bohr, la cual está dada por:






De esta frecuencia podemos obtener la longitud de onda de una línea espectral:






Para experimentos de alta resolución y precisión, se vuelve necesario reemplazar en esta última relación a la masa del electrón por la masa reducida μ del átomo:






Diferenciando a λ con respecto a μ:






Para variaciones pequeñas en la masa reducida, como frecuentemente es el caso, podemos reemplazar a los diferenciales que aparecen arriba por incrementos pequeños Δ, con lo cual tenemos entonces:






PROBLEMA: El modelo atómico planetario de Bohr se basó en la suposición de que la fuerza de atracción eléctrica entre el protón en el núcleo del átomo y el electrón orbitando en torno al núcleo variaba de acuerdo a la ley de Coulomb, en razón inversa del cuadrado de la distancia de separación entre ambas cargas eléctricas. Obténganse los niveles de energía permisibles en caso de que la atracción eléctrica sea proporcional a la inversa de una potencia de tres-medios de la distancia entre ambas cargas.

Para que pueda haber una órbita estable, la fuerza de atracción eléctrica que en este caso sería:






debe ser balanceada por una fuerza centrípeta de igual magnitud, lo que impone la condición:






Ahora bien, la energía potencial eléctrica a una distancia fija de la carga central se puede calcular de la siguiente manera:






La energía total es igual a la energía cinética del electrón sumada a la energía potencial que acabamos de calcular, o sea:






Combinando todo lo anterior en forma parecida a como se hace en el caso ordinario cuando la fuerza de atracción eléctrica varía en razón inversa del cuadrado de la distancia entre las cargas, obtenemos:






Si el momento angular del electrón ha de seguir cuantizado, entonces debemos seguir teniendo:


L = nħ



o bien, siendo el momento angular orbital igual a L = rp = mvr:


mvr = nħ



debe seguir siendo válida. Combinándolo todo obtenemos para el radio de una órbita estable para cada valor de n:






Con esto obtenemos finalmente los niveles de energía permisibles:






Muy desde el principio en el que fue postulado el modelo atómico planetario de Bohr, se descubrió que un solo número cuántico no era suficiente para poder explicar todas las líneas de emisión y absorción de los elementos observadas en el laboratorio, especialmente cuando los gases eran sometidos a un campo magnético que producía la aparición de nuevas líneas en los espectros. Con el fin de explicar esas líneas adicionales, Arnold Sommerfeld introdujo en 1916 el modelo elíptico en el cual, además de las órbitas circulares postuladas por Bohr, el electrón se podía mover en torno al núcleo atómico siguiendo órbitas elípticas, en forma muy parecida a como ocurre con los movimientos planetarios en torno al Sol de acuerdo con las leyes de Kepler. De este modo, era posible postular la existencia de dos números cuánticos en lugar de uno solo, un número cuántico radial nr relacionado con la distancia del electrón hacia el núcleo atómico, y un número cuántico angular nθ relacionado con la velocidad angular de la trayectoria elíptica. Las órbitas elípticas tenían que ser consistentes también con la condición de que el momento angular tenía que estar cuantizado a lo largo de una trayectoria cerrada. Así, en lugar de haber una sola condición de cuantización, había ya dos condiciones, enunciadas por Sommerfeld de la siguiente manera:






en donde L es la cantidad del movimiento angular o momento angular, y pr es la cantidad de movimiento lineal, y h es la constante de Planck. El círculo puesto en medio del signo integral indica que la integral se debe tomar sobre una trayectoria cerrada, o lo que es lo mismo, sobre un ciclo o período completo del movimiento. Se acostumbra resumir ambas condiciones en una sola recurriendo a coordenadas generalizadas:






Esta condición es también conocida como la regla de cuantización Bohr-Sommerfeld y también como la regla de cuantización Wilson-Sommerfeld. El uso de esta regla no está limitado a problemas en los cuales el recorrido se lleva a cabo sobre trayectorias elípticas como lo veremos a continuación.

PROBLEMA: Obténgase la condición de cuantización para una partícula moviéndose en un campo de fuerza central siguiendo una órbita circular.

La condición de cuantización para este problema es:






Puesto que a lo largo de una trayectoria circular el momento angular permanece constante, lo podemos sacar fuera de la integral:






La integración angular sobre una trayectoria completa es igual a 2π, con lo cual:






Esta es precisamente la condición que fué descubierta por Bohr.

PROBLEMA: Obténgase la condición de cuantización de energía para un oscilador armónico simple mediante la regla de cuantización de Sommerfeld.

La ley del movimiento de Newton F = ma aplicada a una masa conectada a un resorte con una constante de fuerza K es igual a:






Una solución para esta ecuación diferencial de segundo orden es la siguiente:


x = A sen(ωt)



en donde A es la amplitud del movimiento y ω es la frecuencia angular:


ω = 2πf = √K/m



La suma de la energía potencial, Kx²/2, y la energía cinética, P²/2m, en donde P es la cantidad de movimiento lineal del oscilador, debe ser constante por el principio de la conservación de la energía, e igual al valor máximo de cualquiera de ambos:






Usando la solución a la ecuación diferencial, podemos calcular dx y el momentum P de la siguiente manera:


dx = ωAcos(ωt) dt

P = m(dx/dt) = mωAcos(ωt)



En este problema, la regla de cuantización de Sommerfeld nos dará lo siguiente:






Usando mω²A² = 2E, obtenemos:






Puesto que la velocidad angular ω, que se mantiene constante, es igual al ángulo θ por unidad de tiempo, o sea ω = θ/t, podemos hacer θ = ωt y llevar a cabo la integración sobre un ciclo angular completo de θ = 0 a θ = 2π:






Esto nos lleva finalmente a la siguiente cuantización de la energía del oscilador armónico simple de acuerdo a la regla de Sommerfeld:


E = nħω



Esta es precisamente la condición utilizada por Planck para la cuantización de los osciladores con los cuales pudo explicar correctamente la radiación términa del cuerpo negro.

PROBLEMA: Una partícula se mueve unidimensionalmente hacia atrás y hacia adelante dentro de una caja de longitud L. Suponiendo que no hay fuerzas actuando sobre la partícula excepto cuando rebota contra las paredes siendo el choque perfectamente elástico, encontrar la energía que puede tener la partícula de acuerdo a la regla de Sommerfeld.

Si seleccionamos nuestro sistema de coordenadas de modo tal que la partícula empiece su movimiento hacia la derecha justo cuando acaba de rebotar en la pared izquierda, iniciando con ello el ciclo de su recorrido hasta regresar nuevamente a golpear en la pared izquierda, la trayectoria completa de la partícula consta de dos tramos, su recorrido de izquierda a derecha y su recorrido de derecha a izquierda. En tal caso, la regla de cuantización de Sommerfeld nos resulta en lo siguiente:






Revirtiendo nuevamente al momentum lineal P = mv:






Suponiendo que la partícula se está desplazando a una velocidad lo suficientemente baja como para que no apliquen en ella las correcciones requeridas cuando la partícula se mueve a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, la energía que puede tener la partícula estará entonces cuantizada de acuerdo a:






Sommerfeld hizo mucho más que darle una formulación matemática elegante a los postulados de Bohr. Al introducir el concepto de las órbitas planetarias elípticas, Sommerfeld fue el primero en llevar a cabo también una curiosa combinación de las dos ramas principales de la física moderna: la Mecánica Cuántica y la Teoría de la Relatividad. Un resultado de la mecánica Newtoniana clásica aplicable a los movimientos planetarios es el de que en un campo de fuerza que varía en razón inversa al cuadrado de la distancia (ley de la gravitación universal de Newton) la energía depende únicamente del semieje mayor de la elipse y no de la excentricidad de la elipse, no habiendo por lo tanto cambio alguno a menos de que la fuerza de atracción difiera de la relación usual de la inversa del cuadrado de la distancia o de que la mecánica Newtoniana sea modificada. Sommerfeld consideró el efecto de tomar en cuenta a la Teoría Especial de la Relatividad (no a la Teoría General de la Relatividad que incluye el estudio de los fenómenos de la gravedad) en el modelo de Bohr. Puesto que las correcciones relativistas deben ser del orden de v²/c², para Sommerfeld era lógico esperar que una órbita altamente excéntrica requiriera una mayor corrección en los cálculos porque la velocidad v se vuelve mayor al estar el electrón más cercano al núcleo del átomo. Aunque los cálculos efectuados por Sommerfeld son algo elaborados, podemos estimar el orden de magnitud del efecto relativista calculando el valor de v/c para la primera órbita de Bohr en el hidrógeno.

PROBLEMA: Estimar el valor de v/c para la primera órbita en el modelo atómico planetario de Bohr para un átomo de hidrógeno.

Para la primera órbita con n = 1 tenemos lo siguiente de la condición de cuantización del momento angular:


L = nħ

mvr0 = ħ

v = ħ/mr0


Por otro lado, ya habíamos visto que el radio para la primera órbita de Bohr está dado por:






En el caso del hidrógeno cuyo número atómico es Z = 1, el radio de la primera órbita viene siendo:






Entonces:


v = ħ/mr0

v = Ke²/ħ



Dividiendo ambos miembros entre la velocidad de la luz:






Usando las constantes físicas:


ke² = 14.4 eV·Å

ħc = 1970 eV·Å



tenemos entonces que la corrección relativista v/c resulta ser:


v/c = (14.4 eV·Å)/(1970 eV·Å)

v/c ≈ 1/137



Este último resultado adimensional frecuentemente es designado con la letra α, y ha resultado ser algo de importancia fundamental que ha sobrevivido inclusive al abandono actual del modelo de Sommerfeld. Aunque v²/c² es muy pequeño, un efecto de esta magnitud es observable. Utilizando espectroscopios de alta resolución se puede observar que lo que parece ser una sola línea resulta ser varias líneas con espaciamientos muy cercanos entre ellas. Esto es explicado en la teoría de Sommerfeld de la siguiente manera: para cada órbita circular de radio rn y energía En existe un conjunto de n órbitas elípticas con igual semieje mayor pero con diferentes excentricidades y por lo tanto energías ligeramente diferentes. Entonces la energía radiada cuando el electrón cambia de órbita depende no solo de los ejes mayores sino también en menor grado de las excentricidades de la órbita inicial y final como. La subdivisión en los niveles de energía es llamada subdivisión de estructura fina, mientras que la constante adimensional α:


α = 1/137.035999679



es mejor conocida como la constante de estructura fina de Sommerfeld o simplemente como constante de estructura fina, la cual tiene varias interpretaciones aunque generalmente es identificada hoy en día como la constante de acoplamiento que caracteriza a la fuerza de la interacción electromagnética. En la electrodinámica cuántica la constante de estructura fina desempeña el papel de una constante de acoplamiento, representando la fuerza de la interacción entre electrones y fotones. Su valor no puede predecirse por la teoría, y debe utilizarse uno basado en resultados experimentales. Este es un resultado que, pese a que fue obtenido con lo que hoy se conoce como la “mecánica cuántica vieja” de la cual el modelo de Sommerfeld forma parte, sigue siendo válido hoy en día.

De acuerdo a la Teoría Especial de la Relatividad, la energía cinética de un cuerpo no está dada por la expresión clásica mv²/2 que no pone limitaciones al cuerpo para poder moverse a velocidades inclusive superiores a la velocidad de la luz, sino por la expresión:






Esto implica que la energía total de un electrón moviéndose en torno a un núcleo atómico con una cantidad de Z cargas positivas (Z protones) debe estar dada por la relación:






Efectuando la substitución u = 1/r obtenemos lo siguiente:






Para el momentum lineal pr y el momentum radial pφ del electrón en órbita (usaremos aquí la notación de punto puesto encima de una variable para simbolizar la derivada de dicha variable con respecto al tiempo):






el cociente de los momentums será:






Esto nos permite escribir la siguiente ecuación de movimiento:






Esto último tiene la siguiente solución sencilla:






Con la regla de Sommerfeld quedan especificadas las siguientes condiciones cuánticas:






Esto nos lleva finalmente a la siguiente energía para el electrón bajo la regla de Sommerfeld:






Es precisamente en este resultado en donde aparece la constante adimensional α que no había aparecido entre los trabajos originales de Bohr, la constante de estructura fina. Históricamente, la primera interpretación física de la constante de estructura fina fue precisamente como el cociente de la velocidad del electrón en la primera órbita circular del átomo de Bohr relativista con la velocidad de la luz en el vacío (v/c), y como hemos visto aparece de forma natural en el análisis de Sommerfeld determinando el tamaño de la separación o estructura fina de las líneas espectrales del hidrógeno. Pero aún más extraordinario resulta el hecho de que la ecuación relativista que se acaba de obtener es la misma que el resultado que obtenemos con la ecuación de Dirac, la cual fue lograda introduciendo la Teoría Especial de la Relatividad no al modelo atómico planetario de Bohr sino a otra ecuación más fundamental de la Mecánica Cuántica, la ecuación de Schrödinger.

De esta forma, en el modelo de Sommerfeld para cada número cuántico principal excepto n = 1 en el modelo atómico planetario de Bohr existe otro número cuántico que describe las familias de las órbitas elípticas permisibles. No todas las órbitas elípticas posibles desde el punto de vista clásico son posibles en el modelo de Sommerfeld, y las órbitas en el modelo Sommefeld poseen el mismo semieje mayor aunque excentricidades distintas como lo muestra la siguiente figura:








En la figura de arriba, para las órbitas elípticas mostradas se ha utilizado el siguiente código cromático:






Como puede apreciarse, tenemos dos números cuánticos (n,l), y el número cuántico ldenota una sub-familia dentro de cada número cuántico principal n. Para n = 1 sólo es posible una órbita circular. Para n = 2 tenemos una órbita circular caracterizada por los números cuánticos (n,l) = (2,1) y una órbita elíptica caracterizada por los números cuánticos (n,l) = (2,0), ambas de color verde (una verde obscuro y la otra verde pálido). Para n = 3 tenemos una órbita circular caracterizada por los números cuánticos (n,l) = (3,2) y dos órbitas elípticas caracterizadas por los números cuánticos (n,l) = (3,1) y (n,l) = (3,0).

Sin contar con el tratamiento relativista de Sommerfeld que hemos visto para el átomo de Bohr, podemos poner la fórmula de Bohr para cada nivel de energía En del átomo de hidrógeno en función de la constante de estructura fina α, y de hecho así es como se encuentra dicha fórmula en muchos libros de texto:






Sin embargo, a la constante de estructura fina α se le llama constante de estructura fina de Sommerfeld, no constante de estructura fina de Bohr. ¿Por qué? Empezando por el hecho de que la constante de estructura fina no fué descubierta por Bohr sino por Sommerfeld. La constante de estructura fina α surge de modo natural e inevitable cuando se aplica al átomo de Bohr la Teoría Especial de Relatividad, y una vez identificada se puede meter dentro de las fórmulas de Bohr como acostumbran hacerlo muchos textos. Sin embargo, sin la identificación hecha por Sommerfeld, la introducción de α en las fórmulas originales de Bohr resulta un tanto artificial e inclusive su empleo no está justificado sobre base filosófica alguna. Por otro lado, la constante de estructura fina está directamente relacionada con esas líneas “extra” adicionales que se presentan en el espectro del átomo de hidrógeno y que no son predichas por el modelo de órbitas circulares de Bohr, líneas “extra” que Sommerfeld atribuyó a órbitas elípticas en vez de órbitas circulares. La constante de estructura fina por sí sola no predice líneas adicionales en el modelo de Bohr basado en órbitas circulares.

El modelo atómico planetario de Bohr, mejorado substancialmente por Sommerfeld, resultó ser extremadamente exitoso para explicar las líneas espectrales causadas por los brincos del electrón de una órbita energética a otra. Sin embargo, adolecía de ciertos defectos que algunos científicos encontraron inadmisibles. La primera objeción presentada al modelo atómico planetario de Bohr venía directamente de la electrodinámica clásica, de acuerdo con la cual una carga eléctrica que esté siendo acelerada emite radiación electromagnética. Y aunque un electrón girando en torno al núcleo atómico se considera moviéndose siempre a la misma velocidad tangencial, por estar en una órbita circular está cambiando continuamente de dirección, lo cual es también una aceleración y por lo tanto una razón para que el electrón radiase energía continuamente precipitándose con ello en espiral hacia el núcleo atómico emitiendo en su caída un espectro continuo de radiación. De este modo, de acuerdo con la electrodinámica clásica, el átomo de Bohr no puede tener una existencia estable, ni siquiera podría durar más allá de unos cuantos microsegundos.

PROBLEMA: Supóngase que un átomo de hidrógeno consiste de un núcleo fijo alrededor del cual un electrón con carga eléctrica e = 4.8·10-10 esu (en el sistema Gaussiano de unidades, siendo el esu igual a un statcoulomb) se mueve en una órbita circular clásica de radio a0 = 5.29·10-9 cm. Estímese la radiación electromagnética clásica de tal átomo debida a la aceleración de la carga del electrón. La radiación de una carga eléctrica acelerada está dada por la fórmula de Larmor para órbitas circulares que es P = 2e²a²/3c3 en donde a es la aceleración de la carga y c es la velocidad de la luz. Usar unidades en el sistema Gauss-cgs para la resolución de este problema.

Obtendremos primero la velocidad tangencial del electrón al estarse moviendo a una distancia a0 del núcleo:


mva0 = h/2π

v = h/2πma0

v = (6.624·10-27 erg·seg)/[2π(9.1·10-28 gr)(5.29·10-9 cm)]

v= 2.19·108 cm/seg



La aceleración radial centrípeta será entonces:


a = v²/r = (2.19·108 cm/seg)²/(5.29·10-9 cm) = 9.07·1024 cm/seg²



Por lo tanto, en el sistema cgs-Gaussiano de unidades:


P = 2e²a²/3c3

P = 2(4.8·10-10 esu)²(9.07·1024 cm/seg²)²/3(3·1010 cm/seg)3

P = 0.468 ergs/seg



en donde hemos utilizado el hecho de que, dimensionalmente, en el sistema cgs-Gaussiano de unidades:






Esta pérdida de energía radiada hacia el exterior se traduciría en una caída en espiral del electrón hacia el núcleo atómico hasta colisionar con el mismo, lo cual daría fin a la existencia misma del átomo:






La incompatibilidad del modelo planetario atómico de Bohr con la electrodinámica clásica no era la única objeción puesta a la teoría. Estaba también el problema de que no era posible predecir a partir de dicho modelo la intensidad de las líneas observadas del espectro ni siquiera para el hidrógeno, como tampoco podía ser utilizado para poder explicar otros fenómenos de índole atómica. De hecho, lo único que podía explicar era la separación relativa de las líneas espectrales de los elementos, y nada más. Eventualmente, se llegó a la conclusión de que ni siquiera dos números cuánticos como lo había propuesto Sommerfeld serían suficientes para poder explicar todas las líneas espectrales que se iban descubriendo.

El modelo de Bohr, pese a lo exitoso que fue en su explicación de las líneas espectrales de los elementos, era demasiado mecanístico para ser extendido a la explicación de otros fenómenos propios de la física atómica. Desde esta perspectiva, su mayor debilidad era su insuficiencia.